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Archiv für 9. April 2010

Wolfram Alpha – Differentialrechnung (1 Variable)

9. April 2010 dirks Kommentare ausgeschaltet

Wolfram Alpha - Differentialrechnung

Heute möchte ich zeigen, wie man mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) Funktionen ableiten kann. Ich behandle in diesem Artikel nur Funktionen mit einer Variablen. Einen allgemeinen Überblick über die Differentialrechnung findet man bei Wikipedia (»Wikipedia).

Wie in den bisherigen Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Syntax

Beginnen wir mit der Eingabesyntax. Als Beispiel dient uns wieder eine einfache Polynomfunktion:

f(x) = 2x^3 -4x^2

Bei der Berechnung von Ableitungen versteht Wolfram Alpha drei verschiedene Schreibweisen:

1. Englische Befehle

Wolfram Alpha kennt die englischen Begriffe für Ableitung, derivative,

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, derivative

und ableiten, differentiate:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, differentiate

2. Leibniz-Notation (“d nach dx”)

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Leibniz-Notation

3. Lagrange-Notation (“Strich”)

Wolfram Alpha - Differantialrechnung, Lagrange-Notation

Mit Ausnahme der Lagrange-Notation können bei allen Eingabeformen die Klammern weggelassen werden. Wolfram Alpha ergänzt die Klammern selbständig. Falls Klammern eingegeben werden, können runde, eckige oder auch geschweifte Klammern verwendet werden.

Ergebnis und Show steps Funktion

Alle drei Eingabeformen führen – wie nicht anders zu erwarten – zum selben Ergebnis:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Ergebnis

Dass Wolfram Alpha eine Polynomfunktion richtig ableiten kann, ist wenig überraschend. Spannend wird es, wenn man auf Show steps klickt. Dann erläutert Wolfram Alpha detailliert, wie man zu diesem Ergebnis kommt:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Show steps

Zuerst werden die beiden konstanten Faktoren, 2 und 4, gemäß der Faktorregel ausgeklammert (factor out constants). Im gleichen Schritt wird die Summenregel angewandt, um beide Terme einzeln ableiten zu können (differentiate the sum term by term). Im nächsten Schritt wird x² abgleitet (the derivative of x² is 2x), danach schließlich x³ (the derivative of x³ is 3x²).

Die Funktion Show steps bietet Wolfram Alpha bei allen Ableitungen an. Dadurch werden auch komplizierte Ableitungen nachvollziehbar.

Sehen wir uns die Ableitungsregeln im Einzelnen an:

Summenregel

Die Summenregel haben wir bereits in unserem Beispiel angewandt. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der Summanden:

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Zwischenschritte anzeigen:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Summenregel

Wie wir schon im Beispiel oben gesehen haben, wendet Wolfram Alpha hier die Summenregel an und differenziert jeden Summanden einzeln.

Produktregel

Für die Ableitung von Produkten gilt:

[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x)+ f(x) \cdot g'(x)

In Wolfram Alpha eingegeben erhalten wir das erwartete Ergebnis:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Produktregel

Wenden wir die Produktregel bei einem konkreten Beispiel an. Abgeleitet werden soll:

[x^2 sin(x)]'

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Berechnung erklären:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Produktregel, Beispiel

So einfach kann Ableiten sein.

Quotientenregel

Für die Ableitung von Quotienten gilt:

[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} = \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}

Prüfen wir das mit Wolfram Alpha:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel

Der Pod Derivative enthält die Quotientenregel in gekürzter Form (erster Term um g(x) gekürzt), im Pod Alternate form finden wir die ungekürzte Formel.

Wenden wir die Quotientenregel bei einen konkreten Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

[\frac{sin(x)}{x^2}]'

Geben wir das in Wolfram Alpha ein:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel, Beispiel

Ist dieses Ergebnis richtig? Wie kommt Wolfram Alpha dazu? Klicken wir auf Show steps und lassen wir uns von Wolfram Alpha den Rechenweg erklären:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel, Beispiel

Kettenregel

Für die Ableitung verschachtelter Funktionen gilt die Kettenregel:

[f(g(x))]' = g'(x) \cdot f'(g(x))

Wenden wir diese Regel auf ein konkretes Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

[sin(x^2)]'

Sehen wir uns das in Wolfram Alpha an:

Wolfram Alpha - Differentialregel, Kettenregel

Wie man erkennen kann, wendet Wolfram Alpha hier wie erwartet die Kettenregel (chain rule) an.

So viel zum Ableiten von Funktionen mit einer Veränderlichen. Wie wir gesehen haben, beherrscht Wolfram Alpha die grundlegenden Differentationstechniken und kann diese mit Hilfe der Show steps Funktion auch anschaulich erklären.

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