Günther Dirks

Vor drei Wochen sind die Mugen Power Akkus für mein HTC Hero eingetroffen. Ich hatte insgesamt drei Stück bestellt: Einer der Akkus war für mein Telefon vorgesehen, die beiden anderen waren für Freunde gedacht.

Die Mugen Power Akkus sollen über eine ca. 15% höhere Ladung als der Original-Akku verfügen. In den letzten drei Wochen habe ich im Praxisbetrieb getestet, ob sich diese nominell höhere Ladung auch in längeren Laufzeiten meines HTC Heros bemerkbar macht.

Mein Test ist nicht streng wissenschaftlich: Je nach Nutzung kann ich die Akkuladung meines HTC Heros innerhalb eines Arbeitstages um 20%, aber auch um 70% reduzieren. Um den Einfluss der unterschiedlich intensiven Nutzung zu minimieren, habe ich die Akkus über einen längeren Zeitraum verwendet und mit meinen Erfahrungen aus den letzten 6 Monaten mit dem Original-Akku verglichen.

Von den drei Mugen Power Akkus erwies sich leider der erste als Enttäuschung. Der Akku hielt deutlich kürzer als der original HTC Akku. Nach einer Woche Test habe ich ihn gegen den zweiten Mugen Power Akku ausgetauscht. Mit dem zweiten Akku bin ich sehr zufrieden. Er hält spürbar länger als der original HTC Akku. Die nominell um 15% höhere Ladung sorgt in der Praxis für die nötige Reserve, um auch extra lange oder intensive Arbeitstage problemlos durchzustehen.

Der dritte Akku ist seit zwei Wochen bei einem Freund im Einsatz und bestätigt dort den positiven Eindruck meines zweiten Akkus.

Fazit

Der erste Akku ist vermutlich defekt. Da sich die beiden anderen Akkus in der Praxis bewährt haben und alle übrigen Testberichte, die ich zu Mugen Power Akkus finden konnte, positiv ausfallen, werte ich den ersten Akku als Ausrutscher. Eigentlich müsste man ihn reklamieren, aber bei den Versandkosten nach Hongkong lohnt sich das einfach nicht. Mit den anderen beiden Akkus bin ich sehr zufrieden.

Im Artikel Wolfram Alpha – Differentialrechnung (1 Variable) habe ich die grundlegenden Funktionen zum Ableiten mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) vorgestellt.

In diesem Artikel möchte ich einige Themen ergänzen.

Höhere Ableitungen

Im ersten Beitrag habe ich erläutert, welche Syntax für die Berechnung der 1. Ableitung verwendet werden kann:

1. derivative 2x^3 -4x^2
2. differentiate 2x^3 -4x^2
3. d/dx 2x^3 -4x^2
4. (2x^3 -4x^2)’

Für die 2. Ableitung sind folgende Schreibweisen möglich:

Ebenso kann die Leibniz-Schreibweise (“d nach dx”) verwendet werden. Im Gegensatz zum selben Kommando für die 1. Ableitung muss der Term hier geklammert werden:

Schließlich kann auch die Lagrange-Notation (“Strich”) angewandt werden. Für die 2. Ableitung können kurioserweise sowohl zwei einzelne Hochkommata (‘) als auch ein doppeltes Anführungszeichen (“) eingegeben werden:

Die 3. und alle höheren Ableitungen können ebenso bestimmt werden.

Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle

Falls der Wert einer Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet werden soll, z.B. bei x=1,  ist Folgendes einzugeben:

Plotten einer Funktion und ihrer Ableitungen

Wolfram Alpha kann mehrere Funktionen gleichzeitig plotten. Die Funktionsterme sind dabei durch Kommata zu trennen. Wolfram Alpha kann die Ableitungen zur Zeit leider noch nicht “on-the-fly” im Plot-Befehl berechnen. Stattdessen müssen die Ableitungen vorher separat bestimmt werden.

Plotten unserer Beispielfunktion und ihrer ersten beiden Ableitungen:

Nullstellen einer Ableitung

Beim Berechnen einer Ableitung zeigt Wolfram Alpha in den meisten Fällen bereits den Pod Roots an und stellt dort die Nullstellen vor:

Sollen die Nullstellen explizit bestimmt werden, so können die im Artikel Wolfram Alpha – Kurvendiskussion, Teil 1 vorgestellten Kommandos verwendet werden. Beispiel roots:

Ebenso führen auch das Nullsetzen oder die unterschiedlichen Schreibweisen des Solve-Kommandos zum Ziel:

Im Artikel Wolfram Alpha – Kurvendiskussion, Teil 2 hatte ich ein Problem der Funktionen FindMaximum und FindMinimum erwähnt. Diese beiden Kommandos ermitteln die lokalen Maxima bzw. Minima von Funktionen.

Zum Zeitpunkt der Veröffentlichung des Artikels konnten die beiden Funktionen die Maxima bzw. Minima nur unter Angabe eines Startwerts finden. Dieses Problem wurde inzwischen behoben. Die Maxima bzw. Minima werden jetzt auch ohne Startwert gefunden.

Heute möchte ich zeigen, wie man mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) Funktionen ableiten kann. Ich behandle in diesem Artikel nur Funktionen mit einer Variablen. Einen allgemeinen Überblick über die Differentialrechnung findet man bei Wikipedia (»Wikipedia).

Wie in den bisherigen Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Syntax

Beginnen wir mit der Eingabesyntax. Als Beispiel dient uns wieder eine einfache Polynomfunktion:

Bei der Berechnung von Ableitungen versteht Wolfram Alpha drei verschiedene Schreibweisen:

1. Englische Befehle

Wolfram Alpha kennt die englischen Begriffe für Ableitung, derivative,

und ableiten, differentiate:

2. Leibniz-Notation (“d nach dx”)

3. Lagrange-Notation (“Strich”)

Mit Ausnahme der Lagrange-Notation können bei allen Eingabeformen die Klammern weggelassen werden. Wolfram Alpha ergänzt die Klammern selbständig. Falls Klammern eingegeben werden, können runde, eckige oder auch geschweifte Klammern verwendet werden.

Ergebnis und Show steps Funktion

Alle drei Eingabeformen führen – wie nicht anders zu erwarten – zum selben Ergebnis:

Dass Wolfram Alpha eine Polynomfunktion richtig ableiten kann, ist wenig überraschend. Spannend wird es, wenn man auf Show steps klickt. Dann erläutert Wolfram Alpha detailliert, wie man zu diesem Ergebnis kommt:

Zuerst werden die beiden konstanten Faktoren, 2 und 4, gemäß der Faktorregel ausgeklammert (factor out constants). Im gleichen Schritt wird die Summenregel angewandt, um beide Terme einzeln ableiten zu können (differentiate the sum term by term). Im nächsten Schritt wird x² abgleitet (the derivative of x² is 2x), danach schließlich x³ (the derivative of x³ is 3x²).

Die Funktion Show steps bietet Wolfram Alpha bei allen Ableitungen an. Dadurch werden auch komplizierte Ableitungen nachvollziehbar.

Sehen wir uns die Ableitungsregeln im Einzelnen an:

Summenregel

Die Summenregel haben wir bereits in unserem Beispiel angewandt. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der Summanden:

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Zwischenschritte anzeigen:

Wie wir schon im Beispiel oben gesehen haben, wendet Wolfram Alpha hier die Summenregel an und differenziert jeden Summanden einzeln.

Produktregel

Für die Ableitung von Produkten gilt:

In Wolfram Alpha eingegeben erhalten wir das erwartete Ergebnis:

Wenden wir die Produktregel bei einem konkreten Beispiel an. Abgeleitet werden soll:

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Berechnung erklären:

So einfach kann Ableiten sein.

Quotientenregel

Für die Ableitung von Quotienten gilt:

Prüfen wir das mit Wolfram Alpha:

Der Pod Derivative enthält die Quotientenregel in gekürzter Form (erster Term um g(x) gekürzt), im Pod Alternate form finden wir die ungekürzte Formel.

Wenden wir die Quotientenregel bei einen konkreten Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

Geben wir das in Wolfram Alpha ein:

Ist dieses Ergebnis richtig? Wie kommt Wolfram Alpha dazu? Klicken wir auf Show steps und lassen wir uns von Wolfram Alpha den Rechenweg erklären:

Kettenregel

Für die Ableitung verschachtelter Funktionen gilt die Kettenregel:

Wenden wir diese Regel auf ein konkretes Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

Sehen wir uns das in Wolfram Alpha an:

Wie man erkennen kann, wendet Wolfram Alpha hier wie erwartet die Kettenregel (chain rule) an.

So viel zum Ableiten von Funktionen mit einer Veränderlichen. Wie wir gesehen haben, beherrscht Wolfram Alpha die grundlegenden Differentationstechniken und kann diese mit Hilfe der Show steps Funktion auch anschaulich erklären.