Günther Dirks

Im ersten Teil des Artikels zur Kurvendiskussion mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) haben wir das Plotten des Funktionsgraphen, das Erstellen einer Wertetabelle und die Bestimmung der Nullstellen behandelt. Im zweiten Teil betrachten wir Maxima, Minima und Wendepunkte.

Wie in den letzten Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Als Beispiel betrachten wir die Polynomfunktion 3. Grades aus dem ersten Teil des Artikels:

Lokale Maxima

Um die lokalen Maxima der Funktion zu bestimmen, benutzen wir den Befehl – Überraschung! – local maxima:

Leider gibt es an dieser Stelle zurzeit kein Show steps, mit dem man sich die Zwischenschritte der Berechnung erläutern lassen könnte.

Klickt man auf Mathematica Form, so erfährt man, dass der Mathematica-Befehl zum Bestimmen der lokalen Maxima eigentlich FindMaximum lautet:

Gibt man diesen Befehl ein, so interpretiert Wolfram Alpha die Aufgabenstellung richtig, liefert aber kein Ergebnis:

Ich halte das für einen Bug.

12.04.2010 – Update: Das Problem wurde inzwischen behoben. Details hier: Wolfram Alpha – Update für FindMaximum

Man kann FindMaximum aber ergänzend einen Startpunkt für die Suche des lokalen Maximums mitgeben. Damit wird das lokale Maximum gefunden. Lassen wir die Suche bei x=0 beginnen:

Lokale Minima

Die lokalen Minima können analog zu den lokalen Maxima bestimmt werden. Der Befehl lautet entsprechend local minima:

Die Mathematica Form für diesen Befehl ist FindMinimum. Wie bei FindMaximum findet auch FindMininum den Extrempunkt nur unter Angabe eines Startpunkts. Starten wir wieder bei x=0.

Globale Maxima und Minima innerhalb eines Intervalls

Wolfram Alpha besitzt auch Funktionen zum Bestimmen des globalen Maximums bzw. Minimums innerhalb eines gegebenen Intervalls. Die Funktionen heißen Maximize bzw. Minimize und erwarten eine der folgenden Syntaxvarianten:

1) Maximize[ Funktionsterm, Intervallbedingung]

2) Maximize[ Funktionsterm, untere Intervallgrenze, obere Intervallgrenze]

3) Maximize[{ Funktionsterm, Intervallbedingung}, {Variable}]

Zur Verdeutlichung ein Beispiel: Bestimmen wir für unsere Polynomfunktion das Maximum innerhalb des Intervalls 0 ≤ x ≤ 3.25.

Variante 1:

Variante 2:

Variante 3 ist die korrekte Schreibweise in Mathematica Form. Allerdings liefert Wolfram Alpha hier nur das eigentliche Ergebnis und verzichtet auf den Funktionsgraphen:

Die Funktion Minimize zum Finden des globalen Minimums verhält sich analog.

Wendepunkte

Die Funktion zum Bestimmen der Wendepunkte lautet inflection points:

So viel zur Kurvendiskussion mit Wolfram Alpha.

Heute möchte ich zeigen, wie man mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) eine Kurvendiskussion (»Wikipedia) durchführen kann. Um den Artikel übersichtlich zu halten, habe ich ihn in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit dem Plotten des Funktionsgraphen, mit dem Erstellen einer Wertetabelle und mit den Nullstellen. Im zweiten Teil betrachten wir Maxima, Minima und Wendepunkte.

Wie in den letzten Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Als Beispiel betrachten wir eine Polynomfunktion 3. Grades:

Wenn man probehalber einfach mal den Polynomterm (ohne f(x)) eingibt,

so erhält man gleich zahlreiche Informationen über die Funktion:

Der Pod Plots enthält den Funktionsgraphen in verschiedenen Maßstäben. Im Pod Alternate form finden wir die Faktorisierung unseres Polynoms, unter roots die dazu passenden Nullstellen der Funktion. In Derivative wird die erste Ableitung, in Indefinite integral das unbestimmte Integral angezeigt. Die Pods Local maximum und Local minimum sind die Stellen und Werte für die lokalen Maxima und Minima angegeben.

Sehen wir und die Funktionen und Ergebnisse im Detail an.

Plotten des Funktionsgraphen

Um nur den Plot der Funktion anzuzeigen, kann der Befehl plot verwendet werden.

Soll die Funktion nur in bestimmten Grenzen, z.B. für -3 ≤ x ≤ 4, geplottet werden, kann folgende Syntax des Plot-Kommandos verwendet werden:

Berechnen einer Wertetabelle

Falls man den Graphen der Funktion selbst zeichnen möchte, kann man sich die Funktionswerte für ein bestimmtes Intervall berechnen lassen.  Dazu benutzt man den Befehl Table. Beispiel für das Intervall von -5 bis +5:

Bestimmen der Nullstellen

Zur Berechnung der Nullstellen können verschiedene Befehle verwendet werden. Beginnen wir mit roots:

Leider lassen sich trotz Show steps keine Rechenschritte anzeigen. Es gibt weitere Eingaben, die zum selben oder zu einem vergleichbaren Ergebnis führen, zum Beispiel das Nullsetzen:

Der allgemeine Befehl zum Lösen einer Gleichung lautet Solve:

Die Mathematica Form dieses Kommandos hat folgenden Aufbau:

Wie man sieht, führen auch hier viele Wege zum Ziel. Wolfram Alpha bemüht sich stets, semantische Eingaben in die entsprechende Mathematica Form zu übersetzen und zu lösen.

Leider zeigt die Funktion Show steps bei der Berechnung der Nullstellen noch keine Zwischenschritte an. Bei Polynomfunktionen ist die Faktorisierung des Terms (»Wikipedia) eine der Lösungsmöglichkeiten zur Bestimmung der Nullstellen. Auch dabei kann Wolfram Alpha helfen.

Faktorisierung einer Polynomfunktion

Im Artikel zur Bruchrechnung habe ich die Wolfram Alphas Funktion zur Faktorisierung von ganzen Zahlen schon vorgestellt. Die Faktorisierung von Polynomen arbeitet ganz ähnlich:

Die Mathematica Form dieses Befehls lautet Factor[...]:

So viel zum ersten Teil der Kurvendiskussion. Im zweiten Teil sehen wir uns die Maxima, Minima und Wendepunkte der Funktion an.

Heute sind die Mugen Power Akkus für mein HTC Hero eingetroffen. Die Akkus haben dieselbe Bauform wie die Original-Akkus, sollen aber über eine höhere Ladung verfügen.

Während der Original-Akku eine Ladung 1350 mAh besitzen soll, sind die Mugen Power Akkus mit 1550 mAh angegeben. Ich werde die Akkus in den kommenden 14 Tagen testen und prüfen, ob sich die nominell höhere Ladung in der Praxis bemerkbar macht.

Bezugsquelle für die Akkus:

Ich konnte keinen europäischen Händler finden und habe daher direkt in Hongkong bestellt. Die Lieferzeit betrug 8 Tage.

»Shop von Mugen Power

So, nach den einführenden Artikeln aus der letzten Woche kommen jetzt die anspruchsvollen Themen. Scherz beiseite, heute geht es nur um Bruchrechnung. Stoff der 5. oder 6. Klasse?

Wie in den letzten Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Beginnen wir mit der Bruchrechnung. Berechnet werden soll folgender Ausdruck:

In Wolfram Alpha werden Brüche ganz einfach mit einem Slash eingegeben. Dank Punkt- vor Strichrechnung (»Wikipedia) sind keine Klammern erforderlich.

Wie schon im Artikel zur Division erläutert, zeigt Wolfram Alpha verschiedene Aspekte des Ergebnisses in den Pods an:

Die meisten dieser Pods habe ich bereits im letzten Artikel erläutert. Heute konzentrieren wir uns auf den Pod Exact result. Nach einem Klick auf Show steps erklärt uns Wolfram Alpha, wie die Bruchrechnung funktioniert:

Zuerst wird das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Zahlen im Nenner gesucht, hier 60, und die Brüche werden entsprechend erweitert (make a common denominator). Im nächsten Schritt werden die Zähler und Nenner ausmultipliziert (multiply). Da jetzt alle 4 Brüche denselben Nenner besitzen, können im dritten und vierten Schritt die Zähler zusammengefasst werden (collect terms und add). Als Vorbereitung für das Kürzen des Bruches werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt (factor). Im vorletzten Schritt werden Zähler und Nenner um gleiche Faktoren gekürzt (cancel). Schließlich werden alle verbliebenen Faktoren wieder ausmultipliziert (multiply). Fertig!

Für die Berechnung des Ergebnisses hat Wolfram Alpha selbständig zwei Funktionen verwendet, die man auch einzeln nutzen kann:

• die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KGV) und
• die Primfaktorzerlegung

Sehen wir uns zuerst die Funktion zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KGV) an:

Wolfram Alpha versteht zurzeit nur English. Daher müssen wir den englischen Begriff für KGV verwenden: least common multiple, kurz lcm. Um das KGV der Zahlen 3, 4, 5 und 12 zu finden, geben wir entsprechend ein:

Vereinfachend kann auch die Kurzform lcm

oder die Mathematica Form LCM[...] verwendet werden.

Nun zur Primfaktorzerlegung. Die Primfaktorzerlegung kann mit dem Befehl factor aufgerufen werden. Beispiel:

Die Mathematica Form des Befehls lautet FactorInteger[...].

So viel zu den Themen Bruchrechnung, KGV und Primfaktorzerlegung für heute.