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Artikel Tagged ‘Wolfram Alpha’

Wolfram Alpha – Ergänzungen zur Differentialrechnung (1 Variable)

12. April 2010 dirks 1 Kommentar

Im Artikel Wolfram Alpha – Differentialrechnung (1 Variable) habe ich die grundlegenden Funktionen zum Ableiten mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) vorgestellt.

In diesem Artikel möchte ich einige Themen ergänzen.

Höhere Ableitungen

Im ersten Beitrag habe ich erläutert, welche Syntax für die Berechnung der 1. Ableitung verwendet werden kann:

  1. derivative 2x^3 -4x^2
  2. differentiate 2x^3 -4x^2
  3. d/dx 2x^3 -4x^2
  4. (2x^3 -4x^2)’

Für die 2. Ableitung sind folgende Schreibweisen möglich:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Second derivative

Ebenso kann die Leibniz-Schreibweise (“d nach dx”) verwendet werden. Im Gegensatz zum selben Kommando für die 1. Ableitung muss der Term hier geklammert werden:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, 2. Ableitung, Leibniz-Schreibweise

Schließlich kann auch die Lagrange-Notation (“Strich”) angewandt werden. Für die 2. Ableitung können kurioserweise sowohl zwei einzelne Hochkommata (‘) als auch ein doppeltes Anführungszeichen (“) eingegeben werden:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, 2. Ableitung, Lagrange-Notation

Die 3. und alle höheren Ableitungen können ebenso bestimmt werden.

Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle

Falls der Wert einer Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet werden soll, z.B. bei x=1,  ist Folgendes einzugeben:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle

Plotten einer Funktion und ihrer Ableitungen

Wolfram Alpha kann mehrere Funktionen gleichzeitig plotten. Die Funktionsterme sind dabei durch Kommata zu trennen. Wolfram Alpha kann die Ableitungen zur Zeit leider noch nicht “on-the-fly” im Plot-Befehl berechnen. Stattdessen müssen die Ableitungen vorher separat bestimmt werden.

Plotten unserer Beispielfunktion und ihrer ersten beiden Ableitungen:

Wolfram Alpha - Plotten einer Funktion und ihrer Ableitungen

Nullstellen einer Ableitung

Beim Berechnen einer Ableitung zeigt Wolfram Alpha in den meisten Fällen bereits den Pod Roots an und stellt dort die Nullstellen vor:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Nullstellen einer Ableitung

Sollen die Nullstellen explizit bestimmt werden, so können die im Artikel Wolfram Alpha – Kurvendiskussion, Teil 1 vorgestellten Kommandos verwendet werden. Beispiel roots:

Wolfram Alpha- Differentialrechnung, Nullstellen einer Ableitung

Ebenso führen auch das Nullsetzen oder die unterschiedlichen Schreibweisen des Solve-Kommandos zum Ziel:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Nullstellen einer Ableitung

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Nullstellen einer Ableitung

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Nullstellen einer Ableitung

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Wolfram Alpha – Update für FindMaximum

12. April 2010 dirks Kommentare ausgeschaltet

Im Artikel Wolfram Alpha – Kurvendiskussion, Teil 2 hatte ich ein Problem der Funktionen FindMaximum und FindMinimum erwähnt. Diese beiden Kommandos ermitteln die lokalen Maxima bzw. Minima von Funktionen.

Zum Zeitpunkt der Veröffentlichung des Artikels konnten die beiden Funktionen die Maxima bzw. Minima nur unter Angabe eines Startwerts finden. Dieses Problem wurde inzwischen behoben. Die Maxima bzw. Minima werden jetzt auch ohne Startwert gefunden.

Wolfram Alpha - FindMaximum

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Wolfram Alpha – Differentialrechnung (1 Variable)

9. April 2010 dirks Kommentare ausgeschaltet

Wolfram Alpha - Differentialrechnung

Heute möchte ich zeigen, wie man mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) Funktionen ableiten kann. Ich behandle in diesem Artikel nur Funktionen mit einer Variablen. Einen allgemeinen Überblick über die Differentialrechnung findet man bei Wikipedia (»Wikipedia).

Wie in den bisherigen Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Syntax

Beginnen wir mit der Eingabesyntax. Als Beispiel dient uns wieder eine einfache Polynomfunktion:

f(x) = 2x^3 -4x^2

Bei der Berechnung von Ableitungen versteht Wolfram Alpha drei verschiedene Schreibweisen:

1. Englische Befehle

Wolfram Alpha kennt die englischen Begriffe für Ableitung, derivative,

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, derivative

und ableiten, differentiate:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, differentiate

2. Leibniz-Notation (“d nach dx”)

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Leibniz-Notation

3. Lagrange-Notation (“Strich”)

Wolfram Alpha - Differantialrechnung, Lagrange-Notation

Mit Ausnahme der Lagrange-Notation können bei allen Eingabeformen die Klammern weggelassen werden. Wolfram Alpha ergänzt die Klammern selbständig. Falls Klammern eingegeben werden, können runde, eckige oder auch geschweifte Klammern verwendet werden.

Ergebnis und Show steps Funktion

Alle drei Eingabeformen führen – wie nicht anders zu erwarten – zum selben Ergebnis:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Ergebnis

Dass Wolfram Alpha eine Polynomfunktion richtig ableiten kann, ist wenig überraschend. Spannend wird es, wenn man auf Show steps klickt. Dann erläutert Wolfram Alpha detailliert, wie man zu diesem Ergebnis kommt:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Show steps

Zuerst werden die beiden konstanten Faktoren, 2 und 4, gemäß der Faktorregel ausgeklammert (factor out constants). Im gleichen Schritt wird die Summenregel angewandt, um beide Terme einzeln ableiten zu können (differentiate the sum term by term). Im nächsten Schritt wird x² abgleitet (the derivative of x² is 2x), danach schließlich x³ (the derivative of x³ is 3x²).

Die Funktion Show steps bietet Wolfram Alpha bei allen Ableitungen an. Dadurch werden auch komplizierte Ableitungen nachvollziehbar.

Sehen wir uns die Ableitungsregeln im Einzelnen an:

Summenregel

Die Summenregel haben wir bereits in unserem Beispiel angewandt. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der Summanden:

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Zwischenschritte anzeigen:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Summenregel

Wie wir schon im Beispiel oben gesehen haben, wendet Wolfram Alpha hier die Summenregel an und differenziert jeden Summanden einzeln.

Produktregel

Für die Ableitung von Produkten gilt:

[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x)+ f(x) \cdot g'(x)

In Wolfram Alpha eingegeben erhalten wir das erwartete Ergebnis:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Produktregel

Wenden wir die Produktregel bei einem konkreten Beispiel an. Abgeleitet werden soll:

[x^2 sin(x)]'

Geben wir das in Wolfram Alpha ein und lassen uns mit Show steps die Berechnung erklären:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Produktregel, Beispiel

So einfach kann Ableiten sein.

Quotientenregel

Für die Ableitung von Quotienten gilt:

[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} = \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}

Prüfen wir das mit Wolfram Alpha:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel

Der Pod Derivative enthält die Quotientenregel in gekürzter Form (erster Term um g(x) gekürzt), im Pod Alternate form finden wir die ungekürzte Formel.

Wenden wir die Quotientenregel bei einen konkreten Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

[\frac{sin(x)}{x^2}]'

Geben wir das in Wolfram Alpha ein:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel, Beispiel

Ist dieses Ergebnis richtig? Wie kommt Wolfram Alpha dazu? Klicken wir auf Show steps und lassen wir uns von Wolfram Alpha den Rechenweg erklären:

Wolfram Alpha - Differentialrechnung, Quotientenregel, Beispiel

Kettenregel

Für die Ableitung verschachtelter Funktionen gilt die Kettenregel:

[f(g(x))]' = g'(x) \cdot f'(g(x))

Wenden wir diese Regel auf ein konkretes Beispiel an. Gesucht wird folgende Ableitung:

[sin(x^2)]'

Sehen wir uns das in Wolfram Alpha an:

Wolfram Alpha - Differentialregel, Kettenregel

Wie man erkennen kann, wendet Wolfram Alpha hier wie erwartet die Kettenregel (chain rule) an.

So viel zum Ableiten von Funktionen mit einer Veränderlichen. Wie wir gesehen haben, beherrscht Wolfram Alpha die grundlegenden Differentationstechniken und kann diese mit Hilfe der Show steps Funktion auch anschaulich erklären.

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Wolfram Alpha – Kurvendiskussion, Teil 2

4. April 2010 dirks Kommentare ausgeschaltet

Wolfram Alpha - Polynomfunktion als Beispiel zur Kurvendiskussion

Im ersten Teil des Artikels zur Kurvendiskussion mit Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) haben wir das Plotten des Funktionsgraphen, das Erstellen einer Wertetabelle und die Bestimmung der Nullstellen behandelt. Im zweiten Teil betrachten wir Maxima, Minima und Wendepunkte.

Wie in den letzten Artikeln sind die Bilder als Links auf Wolfram Alpha (»Wolfram|Alpha) ausgeführt. Ein Klick auf eines der Bilder öffnet Wolfram Alpha in einem neuen Browserfenster und führt dort die abgebildete Abfrage aus.

Als Beispiel betrachten wir die Polynomfunktion 3. Grades aus dem ersten Teil des Artikels:

f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Wolfram Alpha - Beispiel Kurvendiskussion

Lokale Maxima

Um die lokalen Maxima der Funktion zu bestimmen, benutzen wir den Befehl – Überraschung! – local maxima:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, local maxima

Leider gibt es an dieser Stelle zurzeit kein Show steps, mit dem man sich die Zwischenschritte der Berechnung erläutern lassen könnte.

Klickt man auf Mathematica Form, so erfährt man, dass der Mathematica-Befehl zum Bestimmen der lokalen Maxima eigentlich FindMaximum lautet:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, FindMaximum

Gibt man diesen Befehl ein, so interpretiert Wolfram Alpha die Aufgabenstellung richtig, liefert aber kein Ergebnis:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, FindMaximum

Ich halte das für einen Bug.

12.04.2010 – Update: Das Problem wurde inzwischen behoben. Details hier: Wolfram Alpha – Update für FindMaximum

Man kann FindMaximum aber ergänzend einen Startpunkt für die Suche des lokalen Maximums mitgeben. Damit wird das lokale Maximum gefunden. Lassen wir die Suche bei x=0 beginnen:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, FindMaximum

Lokale Minima

Die lokalen Minima können analog zu den lokalen Maxima bestimmt werden. Der Befehl lautet entsprechend local minima:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, local minima

Die Mathematica Form für diesen Befehl ist FindMinimum. Wie bei FindMaximum findet auch FindMininum den Extrempunkt nur unter Angabe eines Startpunkts. Starten wir wieder bei x=0.

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, FindMinimum

Globale Maxima und Minima innerhalb eines Intervalls

Wolfram Alpha besitzt auch Funktionen zum Bestimmen des globalen Maximums bzw. Minimums innerhalb eines gegebenen Intervalls. Die Funktionen heißen Maximize bzw. Minimize und erwarten eine der folgenden Syntaxvarianten:

1) Maximize[ Funktionsterm, Intervallbedingung]

2) Maximize[ Funktionsterm, untere Intervallgrenze, obere Intervallgrenze]

3) Maximize[{ Funktionsterm, Intervallbedingung}, {Variable}]

Zur Verdeutlichung ein Beispiel: Bestimmen wir für unsere Polynomfunktion das Maximum innerhalb des Intervalls 0 ≤ x ≤ 3.25.

Variante 1:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, Maximize

Variante 2:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, Maximize

Variante 3 ist die korrekte Schreibweise in Mathematica Form. Allerdings liefert Wolfram Alpha hier nur das eigentliche Ergebnis und verzichtet auf den Funktionsgraphen:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, Maximize

Die Funktion Minimize zum Finden des globalen Minimums verhält sich analog.

Wendepunkte

Die Funktion zum Bestimmen der Wendepunkte lautet inflection points:

Wolfram Alpha - Kurvendiskussion, Wendepunkte

So viel zur Kurvendiskussion mit Wolfram Alpha.

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